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【湖南专用】2012高三数学理一轮复习精品课件第1单元第2讲命题及其关系、充要条件_图文

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理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的命题 及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种 命题的相互关系,理解必要条件、充分条件与 充要条件的意义.

1 .命题“若x2 ? 1,则-1 ? x ? 1”的逆否命题是? ?
A.若x2 ? 1,则x ? 1或x ? -1 B.若-1 ? x ? 1,则x2 ? 1 C.若x ? 1或x ? -1,则x2 ? 1 D.若x ? 1或x ? -1,则x2 ? 1
解析:由逆否命题的定义可知选D.

 2.如果一个命题的逆命题是真命题,则该命题的? ?
A.原命题必是假命题 B.否命题必是假命题 C .逆否命题必是真命题 D.否命题必是真命题
解析:由于逆命题与否命题互为逆否命题, 真假性相同,故选D.

3.对于x,y ? R,则“xy=0”是“x2+y2=0”的? ?
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

解析:由x2+y2=0,得x=0且y=0,则xy=0, 即必要条件成立.而xy=0,取x=0,y=1, 则x2+y2=1 ? 0,即充分条件不成立,故选B.
易错点:由xy=0,得x=0,y=0,误认为 x=0,y=0同时成立,而得x2+y2=0,错选C.

 4.命题:“若m ? 0,则x2+x-m=0有实根?的

否定是 

  .

解析:命题的否定只要求否定结论,从而 原命题的否定是“若m ? 0,则x2+x-m=0 无实根”.

易错点:将命题的否定与否命题概念混淆.

 5.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的充分不必要 条件,丙是乙的必要不充分条件,则甲是丙的    (填“充分”、“必要”、“充分必要”、“充分不必 要”或“必要不充分”)条件.
解析: 由题设甲?乙,但乙 ?甲,乙 ? 丙, 但丙 ?乙,从而甲? 丙,故可知甲是丙的充分 条件,而必要条件无法确定.故填“充分”.

易错点:乙 ?甲,丙 ? 乙,不能判定丙 ?甲,易 误填“充分不必要”.

1 .命题及四种命题的相互关系
?1?可以判断真假的语句叫命题,由① ______
两部分构成.
? 2 ? 命题的四种形式:
原命题:若p,则q; 逆命题:若② _______,则③ ________; 否命题:若④ _______,则⑤ ________; 逆否命题:若⑥ _____,则⑦ ________ .

?3?四种命题的关系:
?3?四种命题的关系:
⑧ __________的命题互为等价命题,它们 同真同假.

2.充分条件与必要条件?1?若p ? q,则称
p为q的⑨ ______,同时q是p的⑩ ______;
?2?若 _______ 且 ______,则称p是q的充要条件.
【要点指导】 ①题设和结论;②q;③p;④?p;⑤?q;⑥?q; ⑦?p;⑧互为逆否;⑨充分条件; ⑩必要条件; p ? q; q ? p

题型一 命题及其相互关系

例1.?1?命题“若函数f ? x?=loga x(a ? 0,且a ? 1)

在其定义域内是减函数,则loga 2 ? 0”的逆否

命题是

.

?2?已知函数f ? x?=ex-mx非常数函数,则命题

“若函数f ? x?=ex-mx在[0,+?)上是增函数,

则m ? 1”的否命题是

;该命题的逆命题,

否命题,逆否命题中,真命题共有

个.

解析: ?1?由逆否命题的含义可知,原命题的 逆否命题是“若loga 2 ? 0,则函数f ? x?=logax
(a ? 0,a ? 1)在其定义域上是增函数”.
? 2 ?由否命题的含义可知,原命题的否命题是 “若函数f ? x?=ex-mx在[0,+?)上是减函数,
则m ? 1”.

因为f ?? x?=ex-m,当x ?[0,+?)时,ex ? 1, 因此可知,若f ? x?在[0,+?)上是增函数,
即x ?[0,+?),m ? ex恒成立,故m ? 1,
从而可知原命题是真命题.若f ? x?=ex-mx 在[0,+?)上是减函数时,f ?? x?=ex-m ? 0,
即m ? ex,又x ?[0,+?)时,ex ? 1,所以m ? 1.

从而可知否命题是真命题.由四种命题 的相互关系可得,逆否命题是真命题, 逆命题和否命题是真命题,填3个.

评析:(1)已知原命题,写出它的其他三种 命题,首先把命题改写成“若p,则q”的形式, 然后找出其条件p和结论q,再根据四种命题的 定义写出其他命题.对写出的命题也可简洁表 述;对于含有大前提的命题,在改写命题形式 时,大前提不要动. (2)判断命题的真假,可直接判断,如果不易判 断,可根据互为逆否命题的两个命题是等价命 题来判断;原命题与逆否命题是等价命题,否 命题与逆命题是等价命题.

素材1:(2010 ?山东模拟)分别写出下列命题的 逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的
真假:?1? 若b 2-4ac=0,则方程ax 2+bx+c=0
(a ? 0)有两个相等的实根;
?2?若A B=I,则A=?I B

解析: ?1?逆命题:若方程ax2+bx+c=0(a ? 0)
有两个相等的实根,则b2-4ac=0,为真命题. 否命题:若b2-4ac ? 0,则方程ax2+bx+c=0 (a ? 0)没有两个相等实根,为真命题. 逆否命题:若方程ax2+bx+c=0(a ? 0)没有两个 相等实根,则b2-4ac ? 0,为真命题.

?2?逆命题:若A=?I B,则A B=I,为真命题.
否命题:若A B ? I,则A ? ?I B,为真命题. 逆否命题:若A ? ?I B,则A B ? I,为假命题.

题型二 充分条件、必要条件的判断

例2.?1?设a、b是实数,则“lg(a2+1) ? lg(b2+1)”

是“a ? b”的(  )

A.充要条件

B.充要不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?2?已知集合A={x | a-2 ? x ? a+2},B={x |

(x+2)(x-4) ? 0},则A B=?的充要条件是(  )

A.0 ? a ? 2

B.-2 ? a ? 2

C.0 ? a ? 2

D.0 ? a ? 2

解析:?1?由函数y=lgx是增函数可知,lg(a2+1) ? lg(b2+1)

? a2+1 ? b2+1 ? a2 ? b2.易知a2 ? b2 ? a ? b,

且a ? b ? a2 ? b2,故“lg(a2+1) ? lg(b2+1)”是“a ? b”

的既不充分也不必要条件,故选D.

?2? B={x | x ?-2或x ? 4},由A

B=?

?

?a-2 ??a+2

? ?

2 4

? 0 ? a ? 2,故选A.

评析:有关充要条件的判断问题的求解程 序是:①辨明试题表述的语句是“定义形式” 还是“倒装形式”;②由充要条件的定义确定 命题推导的顺序;③依定义确定充要性.

素材2.下列各小题中,p是q的充要条件的是? ?
①p:m ? -2或m ? 6,q:y=x2+mx+m+3有两个 不同的零点;
②p:f ?-x?=1,q:y=f ? x?是偶函数;
f ?x?
③p:cos?=cos?,q:tan?=tan?;
④p:A B=A,q:痧uB ? u A A.①② B.②③ C.③④ D.①④

解析: ①中?=m2-4m-12 ? 0 ? (m-2)2 ? 42 ? m ? 6或m ? -2,即p ? q; ④中A B=A ? A ? B ? 痧uB ? u A.故选D.

题型三 充要条件的证明与探究
例2.证明:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负实数 根的充要条件是a ? 0或a=1.

证明: (充分性)
当a=0时,原方程为2x+1=0,其根为x=- 1 ; 2
当a=1时,原方程为( x+1) 2=0,其根为x=-1; 当a ? 0时,?=4(1-a) ? 0,原方程有两不等实根,
其两根积等于 1 ? 0,因此方程的根一正一负. a
综上可知,a ? 0或a=1时,方程ax2+2x+1=0有且 只有一个负实数根.

(必要性) 若方程ax2+2x+1有且只有一个负实数根,则a=0

?

?

?a ? 0

?a ? 0

或???=4-4a=0或???=4-4a ? 0,

? ?-

2

?

0

? ?

1

?

0

?a

?a

因此a=0或a=1或a ? 0,即a ? 0或a=1.故方程

ax2+2x+1=0有且仅有一个负实数根的充要条件

是a ? 0或a=1.

评析:(1)有关充要条件的证明必须分“充 分性”和“必要性”两个环节分别进行推理论 证. (2)证明时易出现充分性与必要性概念混淆的情 形,因此论证时必须依“定义”弄清.

素材3.设命题p:| 4x-3 |? 1;命题q:x2-(2a+1)x+ a(a+1) ? 0.若?p是?q的必要而不充分条件,求实 数a的取值范围.

解析:由| 4x-3 |? 1得-1 ? 4x-3 ? 1,故 1 ? x ? 1. 2
由x2-(2a+1)x+a(a+1) ? 0,得(x-a)(x-a-1) ? 0,

故a ? x ? a+1.因为? p是 ?q的必要而不充分条件,

所以p是q的充分而不必要条件,即[1,1??? a,a+1],
2

所以

??a ? 1 ?2 ??a+1 ?

,解得0 1

?

a

?

1 2

.故所求的实数a的取值

范围是[0,1 ]. 2

备选例题(2010 ? 江西模拟)已知抛物线C:
y=-x2+mx-1和点A ? 3, 0?、B ? 0, 3?,求
抛物线C与线段AB有两个不同交点的 充要条件.

解析:由已知得线段AB的方程为x+y=3(0 ? x ? 3),

因为抛物线C与线段AB有两个不同的交点,所以

方程组

? ? ?

y=x2+mx-1 x+y=3?0 ? x

?

3?

有两个不同的实数解.

将y=3-x代入y=-x2+mx-1,

得x2-(1+m)x+4=0(0 ? x ? 3),即关于x的方程

x 2-(1+m) x+4=0在?0, 3? 上有两个不同的实数解.

反过来,若方程x 2-(1+m) x+4=0在? 0, 3? 上有两个
不同的实数解x1、x2,分别代入x+y=3可得到y1和y2, 故抛物线C与线段AB有两个不同的交点(x1,y1)和(x2,y2 ) 于是问题转化为求关于x的方程x 2-(1+m) x+4=0在
?0,3?上有两个不同的实数解的充要条件.
令f ? x?=x2-(1+m)x+4(如图所示).

??1+m?2-4 ? 4 ? 0

  则有

? ??

f

?

?0

?

?3? ? 0 ? m+1
2

?

3

??1+m?2 ? 42 ? ,即??-3m+10 ? 0??,
??0 ? 1+m ? 6 ??

?? f ?0? ? 0

解得3 ? m ? 10 .故所求的充要条件是3 ? m ? 10 .

3

3

1.充分条件、必要条件是高考重点考查的考点,常与 其他知识综合在一起.命题表达形式有:①“若p,则q” 为真;②p? q;③p是q的充分条件;④q是p的必要条件, 这四种表述实质意义相同.
2.充分条件、必要条件常用的判断方法: (1)定义法:判断B是A的什么条件,实际上就是判断B ?A或A ? B是否成立,只要把题目中所给条件按逻辑关 系画出箭头示意图,再利用定义即可判断.

(2)集合法:在对命题的条件和结论间的关系判断 有困难时,有时可以从集合的角度来考虑, 记条件p、q对应的集合分别为A、B,则: 若A ? B,则p是q的充分条件; 若A ? B,则p是q的充分非必要条件; 若A ? B,则p是q的必要条件; 若A=B,则p是q的必要非充分条件; 若A=B,则p是q的充要条件; 若A 刭B,且A B,则p是q的既非充分条件 也非必要条件.

(3)用命题的等价性判断:判断p是q的什么条件,其实 质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真还是 假,原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件; 原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不充分条件; 原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件;原命题 为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要条 件.同时要注意反例法的运用. 注意:确定条件为不充分或不必要的条件时,常用构造 反例的方法来说明. 3.探求充要条件可以先求充分条件,再验证必要性; 或者先求必要条件,再验证充分性;或者等价转换条 件.

已知p:“f ?0?=0”,q:“函数f ? x?为奇函数”,
则p是q的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

错解:若f ? x?是奇函数,则f (-x)=-f ? x?. 令x=0,得f ?0?=0.从而p是q的必要条件. 但若f ? x?=x2,有f ?0?=0,此时f ? x?为偶函数,
从而p不是q的充分条件,故应选B.
错误分析:f ? x?是奇函数 ? f (-x)=-f ? x?, 但若x=0时,f ? x?无意义,例如f ? x?=1,
x
就不能推出f ?0?=0,因此必要性不成立.

正解:一方面,f ? x?是奇函数,若0不属于其 定义域,如函数f ? x?=1,当x=0时,f ?0?
x
无意义,从而f ?0?=0不成立; 另一方面,若f ?0?=0,且设f ? x?=x2,从而 可知f ? x?不是奇函数,故应选D.



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