本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）—（24）题 为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考 试结束后，只收回答题卡和答题纸。
注意事项： 1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、 准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案的标号;非选择题 答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写无效。 4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5、做选做考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每題给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求）
1．设复数 z=2+bi (b∈R)且 z =2 2 ，则复数 z 的虚部为
()
A. 2
B.±2i
C.±2
D. ±2 2
2．已知集合 A={y︱y=3 x },B={x︱x2＞1},，则 A∩CRB =
（）
A.[-1,1]
B.(0,1)
C.[0,1]
D. ?0,1?
3．下列命题是真命题的是 A. a ? b 是 ac2 ? bc2 的充要条件
C. ?x ? R ， 2 x ＞ x 2
B. a ? 1， b ? 1 是 ab ? 1的充分条件
D. ?x0 ? R ， e x0 ＜ 0
4．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的 S 的值是
() （）
A．102
B．39
C．81
D．21
5.若
? cos(
?
x)
?
1，
则 cos( ?
?
2x)
?
()
4
3
2
A.- 7
B.- 1
C. 8
D. 7
9
9
9
9
6．设等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn，若 a1=-15, a3+a5= -18,则当 Sn 取最小值时 n 等于（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
7.已知一个几何体的三视图如右图，则该几何体的体积
为
()
A.8 - 2? 3
B. 8 - 4? 3
C. 4 - 4? 3
D. 4 - 2? 3
?y ?1
8．
如果实数
x、y
满足
? ?
x
?
y
?1?
0
那么 z=2x+y 的范围为
??x ? 2 y ? 2 ? 0
()
A． ?- 3，9 ?
B．?- 3,9 ?
C．?-1，9 ?
D． ?- 3,9?
9.（2x+ a ) (2x- 1 ) 5 的展开式中各项系数之和为 3，则该展开式中常数项为 xx
（）
A．40
B.160
C.0
D.320
10．f（x）= 3 sin(ω x+φ )+cos (ω x+φ ) (ω ＞0， ? ＜ ? ）的最小正周期为π ， 2
且 f（-x）=f（x），则下列关于 g（x）= sin（ω x+φ ）的图象说法正确的是
（）
A．函数在 x∈[ - ? ，? ]上单调递增 43
C. 在 x∈[0, ? ]上，函数值域为[0，1] 6
B. 关于直线 x= 7? 对称 12
D. 关于点（? ，0）对称 6
11．若 P 点是以 A（-3，0）、B（3，0）为焦点，实轴长为 2 5 的双曲线与圆 x2 ? y2 ? 9 的一
个交点，则 PA ? PB =
（）
A． 4 13
B. 2 14
C. 2 13
D. 3 14
?kx ? 2(x ? 0) 12. f (x) ? ??? ln x(x ? 0) ,则下列关于 y ? f [ f (x)] ? 2 的零点个数判断正确的是（ ）
A.当 k=0 时，有无数个零点 C.当 k＞0 时，有 3 个零点
B.当 k＜0 时，有 3 个零点 D.无论 k 取何值，都有 4 个零点
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第 22 题～第 24 题为选做题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知平面向量 a ， b 满足： a ? 1, b ? 6, a ? (b ? a) ? 2 ，则 a与b 的夹角为
14. 6 人站一排照相，其中有甲乙两人，则甲乙两人之间间隔两人的排法有
15．如右图，在△ABC 中，AB=AC=2，BC= 2 3 ，点 D 在 BC
边
A
上，∠ADC= 75? ，则 AD 的长为
16．给出下列命题：①抛物线 x= - 1 y 2 的准线方程是 x=1；
4
B
D
C
② 若 x ∈ R ， 则 x2 ? 3 的 最 小 值 是 2 ； x2 ? 2
?
?③
2 ??
sin
xdx
?
2
；
2
④若ξ ～N（3，? 2 ）且 P（0≤ξ ≤3）=0.4，则 P(ξ ≥6)=0.1 。
其中正确的是（填序号） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本题满分为 12 分)
各项均为正数的等比数列{an}中，已知 a2=8, a4=128, bn=log2an .
(1) 求数列{an}的通项公式； (2) 求数列{bn}的前 n 项和 Sn
(3) 求满足不等式 (1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ) ? 1007 的正整数 n 的最大值
S2
S3
Sn 2013
18．（本小题满分 12 分）在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝BC＝CA
＝
AA1＝2，侧棱 AA1⊥面 ABC，D、E 分别是棱 A1B1、AA1 的中点，点
F在
棱 AB 上，且 AF ? 1 AB ． 4
（Ⅰ）求证：EF∥平面 BDC1； （Ⅱ）求二面角 E－BC1－D 的余弦值．
19．（本小题满分 12 分） 高三年级有 3 名男生和 1 名女生为了报某所大学，事先进行了多方详细咨询，并根据自
己的高考成绩情况，最终估计这 3 名男生报此所大学的概率都是 1 ，这 1 名女生报此所大学 2
的概率是 1 ．且这 4 人报此所大学互不影响。 3
（Ⅰ）求上述 4 名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率； （Ⅱ）在报考某所大学的上述 4 名学生中，记 ? 为报这所大学的男生和女生人数的和，试 求 ? 的分布列和数学期望．
20．（本题目满分 12 分） 如图，已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0，2)，与 x 轴正半轴相
交于两点 M，N (点 M 在点 N 的右侧），且 MN ? 3 。椭圆 D：
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
? b ? 0) 的焦距等于 2
ON
，且过点 (
2,
6) 2
( I ) 求圆 C 和椭圆 D 的方程；
(Ⅱ) 若过点 M 的动直线l 与椭圆 D 交于 A、B 两点，若点 N 在以弦 AB 为直径的圆的外部， 求直线 l 斜率的范围。
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ? 1 ax2 ? (2a ? 1)x ? 2 ln x(a ? R） 2
（Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行，求 a 的值及函数 f (x) 的单调区
间；
（Ⅱ）设 g(x) ? (x2 ? 2x)ex ，若对任意 x1 ? ?0, 2? ，均存在 x2 ? ?0, 2? ，使得 f (x1) ? g(x2 ) ，
求实数 a 的取值范围．
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分 10 分） 选修 4—1：几何证明选讲
在 ?ABC 中，AB=AC，过点 A 的直线与其外接圆
交于点 P，交 BC 延长线于点 D。
（1）求证： PC ? PD ； AC BD
（2）若 AC=3，求 AP ? AD 的值。
23. （本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程
设直线
l
的参数方程为
?x
? ?
y
? ?
2? 2t
t
(t
为参数），若以直角坐标系
xOy
的
O
点为极点，Ox
轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程为ρ = 8 cos? ． sin 2 ?
（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求 AB .
24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
设函数 f (x) ? 2 x ?1 ? x ? 2
（1）求 f(x)≤6 的解集 （2）若 f(x)≥m 对任意 x∈R 恒成立，求 m 的范围。
高三数学（理科）参考答案
(4 分)
（2）∵ bn ? log 2 an ? log 2 22n?1 ? 2n ? 1
∴
Sn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn
=
1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ?1) ? n ? (1 ? 2n ?1) ? n2 2
（8 分）
z 18(12 分)（1）证法一：设 O 为 AB 的中点，连结 A1O，
∵AF= 1 AB ，O 为 AB 的中点 4
∴F 为 AO 的中点，又 E 为 AA1 的中点
∴EF∥A1O
y
又∵D 为 A1B1 的中点，O 为 AB 的中点
∴A1D=OB 又 A1D∥OB
∴四边形 A1DBO 为平行四边形 ∴A1O∥BD 又 EF∥A1O ∴EF∥BD
o
x
又 EF ? 平面 DBC1 ， BD ? 平面 DBC1 ∴EF∥平面 DBC1
（6 分）
证法二：建立如图所示的坐标系。（坐标系建立仅为参考）
∵AB=BC=CA=AA1=2，D、E 分别为 A1B1、AA1 的中点，AF= 1 AB 4
E（-1，0，1），F（- 1 ，0，0），B（1，0，0），D（0，0，2），C1（0， 3，2）） 2
设平面平面 DBC1 的法向量为 n ? (x, y, z)
EF
?
(1 2
,0,-1）,
BD
?
(?1,0,2)
,
BC1
?
(?1,
3,2）
BD ? n ? ?x ? 2z ? 0
BC1 ? ?x ? 3y ? 2z ? 0
令
z=1, 则
EF ? n ? 2 ? 1 ? 0 ? 1? (?1) ? 0 2
y=0,x=2
n ? (2,0,1）
∴ EF ? n 又 EF ? 平面 BDC1 ∴EF∥平面 BDC1
（6
分）
19.(12 分)解：（1）记“报这所大学的人数中男生和女生人数相等的”事件为 A，
男生人数记为 Bi(i=0、1、2、3)，女生人数记为 Ci(i=0、1)
P(A)=P(B0C0)+P(B1C1)=
2 3
?
C30
(1)0 (1)3 22
?
1 3
?
C31
(
1 2
)1
(
1 2
)
2
=
5 24
(5 分)
（2）ξ =0，1，2，3，4
P（ξ
=0）=
2 3
C 30
(
1 2
)
0
(
1 2
)
3
?
2 24
?1 12
P（ξ
=1）=
1 3
C
0 3
(
1 2
)
0
(
1 2
)
3
?
2 3
C31
(
1 2
)1
(
1 2
)
2
=
7 24
P（ξ
=2）=
1 3
C 31
(
1 2
)1
(
1 2
)
2
?
2 3
C32
(
1 2
)
2
(
1 2
)1
?
9 24
?
3 8
P（ξ
=3）=
1 3
C 32
(
1 2
)
2
(
1 )1 2
?
2 3
C33
(
1 2
)
3
(
1 2
)
0
?
5 24
P（ξ
=4）=
1 3
C
3 3
(
1 2
)
3
(
1 2
)
0
?
1 24
（9 分）
∴ξ 的公布列为：
ξ
0
1
23
4
1 7 95 1
P
12 24 24 24 24
∴E
7 +2× 9 +3× 5 +4× 1 = 11 24 24 24 24 6
（12 分）
20．（12 分）解：（1）设圆半径为 r, 由条件知圆心 C（r,2）
（ ξ ） =0 × 1 +1 × 12
∵圆在 x 轴截得弦长 MN=3
∴ r 2 ? 22 ?（ 3）2 ? 25 ∴r= 5
C
24
2
∴圆 C 的方程为： (x ? 5)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 （3 分）
G
2
4
上面方程中令 y=0,得 x 2 ? 5x ? 4 ? 0 解得 x=1 或 x=4, ∵点 M 在点 N 的右侧
∴M（4,0）,N(1,0)
（2）设直线 l 的方程为：y=k(x-4) 代入椭圆方程化简得：
（ 4k 2 ? 3)x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0
△=32 2 k 4 ?16(4k 2 ? 3)(16k 2 ? 3) ＞0
k2＜1 4
设 A（x1,y1）,B(x2,y2)
则
x1+x2=
32k 2 4k 2 ?
3
64k 2 ?12 x1x2= 4k 2 ? 3
(7 分)
21.（12 分）【解】（Ⅰ）f ?(x) ? ax ? (2a ?1) ? 2 , f ?(1) ? ?a ?1, f ?(3) ? a ? 1 ，由 f ?(1) ? f ?(3)
x
3
得 a ? 2 ，…（2 分） 3
f ?(x) ? 2 x ? 7 ? 2 ? (2x ? 3)(x ? 2) 得其单调递增区间为 (0, 3), (2, ??) 单调递减区间为
3 3x
3x
2
( 3 , 2) . 2
（
（5 分）
? ? （Ⅱ）若要命题成立，只须当 x ? 0, 2 时，f (x)max ? g(x)max ，由 g（? x)=(x2 ? 2)ex 可知 当
x ? ?0, 2? 时 g(x)max ? g(0) ? g(2) ? 0 ,所以只须 f (x)max ? 0 ……（7 分）
对 f (x) 来说， f ?(x) ? ax ? (2a ?1) ? 2 ? (ax ?1)(x ? 2) ，
x
x
22．（10 分） （1） 证明：连结 BP，∵四边形 ABCP 内接于圆， ∴∠PCD=∠BAD 又∠PDC=∠BDA ∴△PCD～△BAD
∴ PC ? PD BA BD
又∵AB=AC
∴ PC ? PD AC BD
（5 分）
（2）连结 BP。∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB
又∵四边形 ABCP 内接于圆 ∴∠ACB=∠APB
从而∠ABC=∠APB 又∠BAP=∠BAD
∴△PAB～BAD ∴ PA ? AB BA AD
∴ AP ? AD ? AB 2
又∵AB=AC=3 ∴ AP ? AD ? AB 2 = AC 2 ? 9
（10 分）
23．（10 分）解：（1）由ρ = 8 cos? 得ρ sin 2 ? ? 8 cos? sin 2 ?
? 2 sin 2 ? ? 8? cos? ∴ y 2 ? 8x
∴ 曲线 C 表示顶点在原点，焦点在 x 上的抛物线
（5 分）
{ （ 2 ）
x?2?t
y?2t
x?2?
5 t
{ 化 为
5
y?2
5 t
5
代入
y2 ? 8x 得 t2 ? 2
5t ? 20 ? 0
AB ? t2 ? t1 ? (t2 ? t1 )2 ? 4t1t2 ? (2 5)2 ? 4 ? (?20) ? 10
（或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可）
（10 分）