当前位置: 首页 > >

甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试数学(理)试题

发布时间:

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22)—(24)题 为选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考 试结束后,只收回答题卡和答题纸。
注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案的标号;非选择题 答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写无效。 4、保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5、做选做考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑.
第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每題给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求)

1.设复数 z=2+bi (b∈R)且 z =2 2 ,则复数 z 的虚部为

()

A. 2

B.±2i

C.±2

D. ±2 2

2.已知集合 A={y︱y=3 x },B={x︱x2>1},,则 A∩CRB =

()

A.[-1,1]

B.(0,1)

C.[0,1]

D. ?0,1?

3.下列命题是真命题的是 A. a ? b 是 ac2 ? bc2 的充要条件
C. ?x ? R , 2 x > x 2

B. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1的充分条件
D. ?x0 ? R , e x0 < 0

4.阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的 S 的值是

() ()

A.102

B.39

C.81

D.21

5.若

? cos(

?

x)

?

1,

则 cos( ?

?

2x)

?

()

4

3

2

A.- 7

B.- 1

C. 8

D. 7

9

9

9

9

6.设等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn,若 a1=-15, a3+a5= -18,则当 Sn 取最小值时 n 等于( )

A.9

B.8

C.7

D.6

7.已知一个几何体的三视图如右图,则该几何体的体积



()

A.8 - 2? 3

B. 8 - 4? 3

C. 4 - 4? 3

D. 4 - 2? 3

?y ?1

8.

如果实数

x、y

满足

? ?

x

?

y

?1?

0

那么 z=2x+y 的范围为

??x ? 2 y ? 2 ? 0

()

A. ?- 3,9 ?

B.?- 3,9 ?

C.?-1,9 ?

D. ?- 3,9?

9.(2x+ a ) (2x- 1 ) 5 的展开式中各项系数之和为 3,则该展开式中常数项为 xx

()

A.40

B.160

C.0

D.320

10.f(x)= 3 sin(ω x+φ )+cos (ω x+φ ) (ω >0, ? < ? )的最小正周期为π , 2

且 f(-x)=f(x),则下列关于 g(x)= sin(ω x+φ )的图象说法正确的是

()

A.函数在 x∈[ - ? ,? ]上单调递增 43
C. 在 x∈[0, ? ]上,函数值域为[0,1] 6

B. 关于直线 x= 7? 对称 12
D. 关于点(? ,0)对称 6

11.若 P 点是以 A(-3,0)、B(3,0)为焦点,实轴长为 2 5 的双曲线与圆 x2 ? y2 ? 9 的一

个交点,则 PA ? PB =

()

A. 4 13

B. 2 14

C. 2 13

D. 3 14

?kx ? 2(x ? 0) 12. f (x) ? ??? ln x(x ? 0) ,则下列关于 y ? f [ f (x)] ? 2 的零点个数判断正确的是( )

A.当 k=0 时,有无数个零点 C.当 k>0 时,有 3 个零点

B.当 k<0 时,有 3 个零点 D.无论 k 取何值,都有 4 个零点

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选做题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.已知平面向量 a , b 满足: a ? 1, b ? 6, a ? (b ? a) ? 2 ,则 a与b 的夹角为

14. 6 人站一排照相,其中有甲乙两人,则甲乙两人之间间隔两人的排法有

15.如右图,在△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC



A

上,∠ADC= 75? ,则 AD 的长为

16.给出下列命题:①抛物线 x= - 1 y 2 的准线方程是 x=1;

4

B

D

C

② 若 x ∈ R , 则 x2 ? 3 的 最 小 值 是 2 ; x2 ? 2

?

?③

2 ??

sin

xdx

?

2



2

④若ξ ~N(3,? 2 )且 P(0≤ξ ≤3)=0.4,则 P(ξ ≥6)=0.1 。

其中正确的是(填序号) 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本题满分为 12 分)

各项均为正数的等比数列{an}中,已知 a2=8, a4=128, bn=log2an .
(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求数列{bn}的前 n 项和 Sn

(3) 求满足不等式 (1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ) ? 1007 的正整数 n 的最大值

S2

S3

Sn 2013

18.(本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=CA



AA1=2,侧棱 AA1⊥面 ABC,D、E 分别是棱 A1B1、AA1 的中点,点

F在

棱 AB 上,且 AF ? 1 AB . 4

(Ⅰ)求证:EF∥平面 BDC1; (Ⅱ)求二面角 E-BC1-D 的余弦值.
19.(本小题满分 12 分) 高三年级有 3 名男生和 1 名女生为了报某所大学,事先进行了多方详细咨询,并根据自
己的高考成绩情况,最终估计这 3 名男生报此所大学的概率都是 1 ,这 1 名女生报此所大学 2
的概率是 1 .且这 4 人报此所大学互不影响。 3
(Ⅰ)求上述 4 名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率; (Ⅱ)在报考某所大学的上述 4 名学生中,记 ? 为报这所大学的男生和女生人数的和,试 求 ? 的分布列和数学期望.

20.(本题目满分 12 分) 如图,已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0,2),与 x 轴正半轴相
交于两点 M,N (点 M 在点 N 的右侧),且 MN ? 3 。椭圆 D:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) 的焦距等于 2

ON

,且过点 (

2,

6) 2

( I ) 求圆 C 和椭圆 D 的方程;
(Ⅱ) 若过点 M 的动直线l 与椭圆 D 交于 A、B 两点,若点 N 在以弦 AB 为直径的圆的外部, 求直线 l 斜率的范围。

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? 1 ax2 ? (2a ? 1)x ? 2 ln x(a ? R) 2
(Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值及函数 f (x) 的单调区
间;
(Ⅱ)设 g(x) ? (x2 ? 2x)ex ,若对任意 x1 ? ?0, 2? ,均存在 x2 ? ?0, 2? ,使得 f (x1) ? g(x2 ) ,
求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲
在 ?ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆
交于点 P,交 BC 延长线于点 D。
(1)求证: PC ? PD ; AC BD
(2)若 AC=3,求 AP ? AD 的值。
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程

设直线

l

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

2? 2t

t

(t

为参数),若以直角坐标系

xOy



O

点为极点,Ox

轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为ρ = 8 cos? . sin 2 ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求 AB .

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

设函数 f (x) ? 2 x ?1 ? x ? 2

(1)求 f(x)≤6 的解集 (2)若 f(x)≥m 对任意 x∈R 恒成立,求 m 的范围。

高三数学(理科)参考答案

(4 分)

(2)∵ bn ? log 2 an ? log 2 22n?1 ? 2n ? 1



Sn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn

=

1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ?1) ? n ? (1 ? 2n ?1) ? n2 2

(8 分)

z 18(12 分)(1)证法一:设 O 为 AB 的中点,连结 A1O,

∵AF= 1 AB ,O 为 AB 的中点 4

∴F 为 AO 的中点,又 E 为 AA1 的中点

∴EF∥A1O

y

又∵D 为 A1B1 的中点,O 为 AB 的中点

∴A1D=OB 又 A1D∥OB

∴四边形 A1DBO 为平行四边形 ∴A1O∥BD 又 EF∥A1O ∴EF∥BD

o

x

又 EF ? 平面 DBC1 , BD ? 平面 DBC1 ∴EF∥平面 DBC1

(6 分)

证法二:建立如图所示的坐标系。(坐标系建立仅为参考)

∵AB=BC=CA=AA1=2,D、E 分别为 A1B1、AA1 的中点,AF= 1 AB 4
E(-1,0,1),F(- 1 ,0,0),B(1,0,0),D(0,0,2),C1(0, 3,2)) 2

设平面平面 DBC1 的法向量为 n ? (x, y, z)

EF

?

(1 2

,0,-1),

BD

?

(?1,0,2)

,

BC1

?

(?1,

3,2)

BD ? n ? ?x ? 2z ? 0

BC1 ? ?x ? 3y ? 2z ? 0



z=1, 则

EF ? n ? 2 ? 1 ? 0 ? 1? (?1) ? 0 2

y=0,x=2

n ? (2,0,1)

∴ EF ? n 又 EF ? 平面 BDC1 ∴EF∥平面 BDC1

(6

分)

19.(12 分)解:(1)记“报这所大学的人数中男生和女生人数相等的”事件为 A,

男生人数记为 Bi(i=0、1、2、3),女生人数记为 Ci(i=0、1)

P(A)=P(B0C0)+P(B1C1)=

2 3

?

C30

(1)0 (1)3 22

?

1 3

?

C31

(

1 2

)1

(

1 2

)

2

=

5 24

(5 分)

(2)ξ =0,1,2,3,4

P(ξ

=0)=

2 3

C 30

(

1 2

)

0

(

1 2

)

3

?

2 24

?1 12

P(ξ

=1)=

1 3

C

0 3

(

1 2

)

0

(

1 2

)

3

?

2 3

C31

(

1 2

)1

(

1 2

)

2

=

7 24

P(ξ

=2)=

1 3

C 31

(

1 2

)1

(

1 2

)

2

?

2 3

C32

(

1 2

)

2

(

1 2

)1

?

9 24

?

3 8

P(ξ

=3)=

1 3

C 32

(

1 2

)

2

(

1 )1 2

?

2 3

C33

(

1 2

)

3

(

1 2

)

0

?

5 24

P(ξ

=4)=

1 3

C

3 3

(

1 2

)

3

(

1 2

)

0

?

1 24

(9 分)

∴ξ 的公布列为:

ξ

0

1

23

4

1 7 95 1

P

12 24 24 24 24

∴E

7 +2× 9 +3× 5 +4× 1 = 11 24 24 24 24 6

(12 分)

20.(12 分)解:(1)设圆半径为 r, 由条件知圆心 C(r,2)

( ξ ) =0 × 1 +1 × 12

∵圆在 x 轴截得弦长 MN=3

∴ r 2 ? 22 ?( 3)2 ? 25 ∴r= 5

C

24

2

∴圆 C 的方程为: (x ? 5)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 (3 分)

G

2

4

上面方程中令 y=0,得 x 2 ? 5x ? 4 ? 0 解得 x=1 或 x=4, ∵点 M 在点 N 的右侧

∴M(4,0),N(1,0)

(2)设直线 l 的方程为:y=k(x-4) 代入椭圆方程化简得:

( 4k 2 ? 3)x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0

△=32 2 k 4 ?16(4k 2 ? 3)(16k 2 ? 3) >0

k2<1 4

设 A(x1,y1),B(x2,y2)



x1+x2=

32k 2 4k 2 ?

3

64k 2 ?12 x1x2= 4k 2 ? 3

(7 分)

21.(12 分)【解】(Ⅰ)f ?(x) ? ax ? (2a ?1) ? 2 , f ?(1) ? ?a ?1, f ?(3) ? a ? 1 ,由 f ?(1) ? f ?(3)

x

3

得 a ? 2 ,…(2 分) 3

f ?(x) ? 2 x ? 7 ? 2 ? (2x ? 3)(x ? 2) 得其单调递增区间为 (0, 3), (2, ??) 单调递减区间为

3 3x

3x

2

( 3 , 2) . 2


(5 分)

? ? (Ⅱ)若要命题成立,只须当 x ? 0, 2 时,f (x)max ? g(x)max ,由 g(? x)=(x2 ? 2)ex 可知 当

x ? ?0, 2? 时 g(x)max ? g(0) ? g(2) ? 0 ,所以只须 f (x)max ? 0 ……(7 分)

对 f (x) 来说, f ?(x) ? ax ? (2a ?1) ? 2 ? (ax ?1)(x ? 2) ,

x

x

22.(10 分) (1) 证明:连结 BP,∵四边形 ABCP 内接于圆, ∴∠PCD=∠BAD 又∠PDC=∠BDA ∴△PCD~△BAD
∴ PC ? PD BA BD

又∵AB=AC

∴ PC ? PD AC BD

(5 分)

(2)连结 BP。∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB

又∵四边形 ABCP 内接于圆 ∴∠ACB=∠APB

从而∠ABC=∠APB 又∠BAP=∠BAD

∴△PAB~BAD ∴ PA ? AB BA AD

∴ AP ? AD ? AB 2

又∵AB=AC=3 ∴ AP ? AD ? AB 2 = AC 2 ? 9

(10 分)

23.(10 分)解:(1)由ρ = 8 cos? 得ρ sin 2 ? ? 8 cos? sin 2 ?

? 2 sin 2 ? ? 8? cos? ∴ y 2 ? 8x

∴ 曲线 C 表示顶点在原点,焦点在 x 上的抛物线

(5 分)

{ ( 2 )

x?2?t

y?2t

x?2?

5 t

{ 化 为

5

y?2

5 t

5

代入

y2 ? 8x 得 t2 ? 2

5t ? 20 ? 0

AB ? t2 ? t1 ? (t2 ? t1 )2 ? 4t1t2 ? (2 5)2 ? 4 ? (?20) ? 10
(或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可)

(10 分)




友情链接: